【題目】已知直線： 與圓相交的弦長等于橢圓： （）的焦距長．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，橢圓與拋物線（）交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）利用圓心到直線的距離計算出直線與圓相交的弦長，得到.利用求得，得到橢圓方程.（2）設出三個點的坐標，利用點斜式寫出直線的方程，令求得兩點的坐標，代入并利用兩點在橢圓上進行化簡.

【試題解析】

解：（1）由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為 ，

直線與圓相交的弦長為，則， ，

又∵，∴，

∴橢圓的方程．

（2）證明：由條件可知， ， 兩點關于軸對稱，設， ，則，

由題可知， ， ，所以， ．

又直線的方程為，令得點的橫坐標，

同理可得點的橫坐標，

所以

，

即為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某單位的食堂中，食堂每天以10元/斤的價格購進米粉，然后以4.4元/碗的價格出售，每碗內含米粉0.2斤，如果當天賣不完，剩下的米粉以2元/斤的價格賣給養(yǎng)豬場.根據(jù)以往統(tǒng)計資料，得到食堂某天米粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示，若食堂購進了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量， （元）表示利潤.

（1）計算當天米粉需求量的平均數(shù)，并直接寫出需求量的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）估計該天食堂利潤不少于760元的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四邊形 的四個頂點在橢圓： 上，對角線所在直線的斜率為，且， .

（1）當點為橢圓的上頂點時，求所在直線方程；

（2）求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2017年5月14日,第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行,為了解不同年齡的人對“一帶一路”關注程度,某機構隨機抽取了年齡在15-75歲之間的100人進行調查, 經統(tǒng)計“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為9:11

關注

不關注

合計

青少年

15

中老年

合計

50

50

100

(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為關注“一帶一路”是否和年齡段有關？

(2)現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進行問卷調查.在這9人中再選取3人進行面對面詢問,記選取的3人中關注“一帶一路”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

附:參考公式，其中

臨界值表：

0.05

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別是、，離心率，過點的直線交橢圓于、兩點， 的周長為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，圓： （）與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若方程在上有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在上的最小值為，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】當前，網(wǎng)購已成為現(xiàn)代大學生的時尚。某大學學生宿舍4人參加網(wǎng)購，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數(shù)為5或6的人去淘寶網(wǎng)購物，擲出點數(shù)小于5的人去京東商城購物，且參加者必須從淘寶網(wǎng)和京東商城選擇一家購物．

（1）求這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率；

（2）用分別表示這4個人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購物的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】世界那么大，我想去看看，處在具有時尚文化代表的大學生們旅游動機強烈，旅游可支配收入日益增多，可見大學生旅游是一個巨大的市場.為了解大學生每年旅游消費支出（單位：百元）的情況，相關部門隨機抽取了某大學的名學生進行問卷調查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：

組別

頻數(shù)

（Ⅰ）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；

（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該所大學共有學生人，試估計有多少位同學旅游費用支出在元以上；

（Ⅲ）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內的名學生中有名女生， 名男生，現(xiàn)想選其中名學生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.

附：若，則，

， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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