Question

【題目】如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動點(diǎn)（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、直徑所對圓周角的性質(zhì)、線面垂直的判定理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合基本不等式可以求出的長.

法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間平面向量夾角公式，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

法二：根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可以證明出平面平面的交線與BC平行，在圓內(nèi)作交圓于點(diǎn),可以證明出直線是平面平面的交線，這樣利用線面垂直的判定定理，結(jié)合二面角的定義進(jìn)行求解即可.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以.

因?yàn)?/span>是以為直徑的圓上的圓周角，所以，

因?yàn)?/span>，平面，

所以平面.

（2）中，設(shè)，，

所以，

因?yàn)?/span>，，所以，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，三棱錐體積的最大值為.

法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

所以，，平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，，

所以，即，

所以.

法二：因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面，

設(shè)平面平面，則，

又，所以，

又點(diǎn)是平面與平面公共點(diǎn)，所以過點(diǎn)，

過點(diǎn)在圓內(nèi)作交圓于點(diǎn)，則直線與重合，

所以為平面與平面的交線，

因?yàn)?/span>，，所以，

又因?yàn)?/span>平面，所以，所以，

所以為兩個平面所成的銳二面角的平面角，

在中，

所以，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.