Question

已知函數(shù)f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+a的最大值為2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用函數(shù)的最大值求得a，進而求得函數(shù)解析式和最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)，求得函數(shù)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+a=2

3

sinxcosx+2cos²x+a=

3

sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+

π

6

）+1+a，
∵sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）≤2+1+a，
∴由已知可得2+1+a=2，
∴a=-1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴當2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

時，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

，]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生對三角函數(shù)圖象能熟練掌握．