Question

3．在平面直角坐標系xoy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點F（1，0），點P在橢圓C上，且在第一象限內，直線PQ與圓O：x²+y²=b²相切于點M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若|PM|×|PF|=$\frac{3}{4}$，求點P的橫坐標的值；
（3）若OP⊥OQ，求點Q的縱坐標t的值．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率公式和a，b，c的關系，可得a=2，b=$\sqrt{3}$，進而得到橢圓方程；
（2）設P（x₀，y₀），代入橢圓方程，由勾股定理可得|PM|，由焦半徑公式可得|PF|，再由已知條件，計算即可得到所求值；
（3）討論當PM⊥x軸或y軸時，求得P的坐標，設Q（$\sqrt{3}$，t）或（-$\sqrt{3}$，t），由向量垂直的條件，計算可得t；當直線PM的斜率存在且不為0，設直線方程為y-y₀=k（x-x₀），由直線和圓相切的條件，化簡整理，設出Q的坐標，由向量垂直的條件：數量積為0，化簡整理計算即可所求值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，
即有a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1（0＜x₀＜2），
|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-3}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+3-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-3}$=$\frac{1}{2}$x₀，
|PF|=a-ex₀=2-$\frac{1}{2}$x₀，
由|PM|•|PF|=$\frac{3}{4}$，可得$\frac{1}{2}$x₀•（2-$\frac{1}{2}$x₀）=$\frac{3}{4}$，
解得x₀=1（3舍去），即點P的橫坐標的值為1；
（3）當PM⊥x軸或y軸時，P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），設Q（$\sqrt{3}$，t）或（-$\sqrt{3}$，t），
由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即為3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=0或-3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=0，
解得t=±2$\sqrt{3}$；
當直線PM的斜率存在且不為0，設直線方程為y-y₀=k（x-x₀），
即為kx-y+y₀-kx₀=0，由直線PQ與圓O相切，可得
$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即為（kx₀-y₀）²=3+3k²，即2kx₀y₀=k²x₀²+y₀²-3-3k²，
令Q（$\frac{t-{y}_{0}+k{x}_{0}}{k}$，t），由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，可得t=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-k{x}_{0}）}{{y}_{0}+k{x}_{0}}$，
則t²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}}{（{y}_{0}+k{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（3+3{k}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3-3{k}^{2}}$
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（3+3{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）{{x}_{0}}^{2}+（1+{k}^{2}）（3-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}）-3（1+{k}^{2}）}$=12，
解得t=±2$\sqrt{3}$．
綜上可得，點Q的縱坐標t的值為±2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查橢圓方程的應用，向量垂直的條件：數量積為0，運算化簡的能力，屬于中檔題．