Question

已知點A（-3，0），B（3，0），M是直線l：x-y+9=0上任意一點，在l上存在一點P，使|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，則點P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應(yīng)用,點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：法一：設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為A′（a，b），則

b a+3 =-1 -3+a 2 - b 2 +9=0

，解得a=-9，b=6．可得直線A′B的方程為x+2y-3=0，與x-y+9聯(lián)立解得即可．
法二：設(shè)M（x，y），由|MA|+|MB|＞|AB|，可得點M滿足

x2

b+9

+

y2

b

=1，（b＞0）．與直線方程聯(lián)立可得（2b+9）x²+18（b+9）x+（b+9）（81-b）=0，
令△=0，解得b，求得切點即可．

解答： 解：法一：設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為A′（a，b），則

b a+3 =-1 -3+a 2 - b 2 +9=0

，解得a=-9，b=6．
∴A′（-9，6），
∴直線A′B的方程為：y=

6-0

-9-3

（x-3），即x+2y-3=0，
聯(lián)立

x+2y-3=0 x-y+9=0

，解得x=-5，y=4．
∴P（-5，4）．
可得點P滿足：|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，
法二：設(shè)M（x，y），∵|MA|+|MB|＞|AB|，可得點M滿足

x2

b+9

+

y2

b

=1，（b＞0）．
聯(lián)立

x2 b+9 + y2 b =1 x-y+9=0

，
化為（2b+9）x²+18（b+9）x+（b+9）（81-b）=0，
令△=0，解得b=36，
∴81x²+18×45x+45²=0，
解得x=-5，
代入x-y+9=0，解得y=4．
∴P（-5，4）．
故答案為：（-5，4）．

點評：本題考查了在直線上求得一點到直線同側(cè)兩點的距離之和求得最小值問題的兩種方法、對稱問題、直線與橢圓相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．