Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”，若橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的“伴橢圓”方程；

（2）在橢圓的“伴橢圓”上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作橢圓的兩條切線、，證明：兩線垂直；

（3）在雙曲線上找一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，分別交于切點(diǎn)、使得，求滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）或或或.

【解析】

(1) 利用和聯(lián)立解方程可得;

(2) 設(shè)切線方程為:,代入橢圓的方程,利用判別式等于0,可得關(guān)于斜率的一元二次方程,利用韋達(dá)定理可得斜率之積為,從而可證兩條切線垂直;

(3) 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線為:,代入橢圓的方程,利用判別式為0, 可得關(guān)于斜率的一元二次方程,然后根據(jù)斜率之積為可得點(diǎn)的軌跡方程為,最后聯(lián)立此方程與雙曲線方程可解得的坐標(biāo)即可.

(1)依題意可得,,所以,①

又橢圓過(guò)點(diǎn),所以 ②

由①②可得,

橢圓的“伴橢圓”方程為:.

(2)由(1)可得橢圓,

設(shè)切線方程為:,將其代入橢圓,消去并整理得:

,

由,

得,

設(shè),的斜率為,則,

所以兩條切線垂直.

(3)當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線為:,

則

消去并整理得,,

所以,

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到:,

設(shè)兩條切線的斜率分別為,

則,

因?yàn)?/span>,所以,所以,

所以,

所以,

當(dāng)兩條切線的斜率不存在時(shí),也滿足,

所以的軌跡為橢圓的”伴隨圓”,其方程為:,

聯(lián)立,解得,

所以或或或,

所以滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)為: 或或或.