Question

若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上是減函數(shù)，且f（2）=0，則使得（x²-3x）f（x）＜0的x的取值范圍為

（-2，0）∪（2，3）

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）的奇偶性及在（-∞，0]上的單調(diào)性可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，再由f（x）圖象上的特殊點(diǎn)可作出f（x）在R上的草圖，根據(jù)圖象可解得不等式．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上是減函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∵f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0，
作出函數(shù)f（x）在R上的草圖，如圖所示：
由圖象知，（x²-3x）f（x）＜0?

x2-3x＞0 f(x)＜0

或

x2-3x＜0 f(x)＞0

?

x＜0或x＞3 -2＜x＜2

或

0＜x＜3 x＜-2或x＞2

?-2＜x＜0或2＜x＜3，
∴使得（x²-3x）f（x）＜0的x的取值范圍為（-2，0）∪（2，3），
故答案為：（-2，0）∪（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．