Question

【題目】已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）
A.（0，1）
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由題意可得，三角形ABC的面積為 =1，
由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（﹣ ，0），
由直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，
故﹣ ≤0，故點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線y=ax+b和BC的交點(diǎn)為N，則由 可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ ， ）．
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（ ， ），
把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=ax+b，求得a=b= ．
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，此時(shí)b＞ ，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于 ，
即 = ，即 = ，可得a= ＞0，求得 b＜ ，
故有 ＜b＜ ．
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則b＜ ，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)﹣ ＜﹣1，求得b＞a．
設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，則由 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ），
此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于 ，即 （1﹣b）|xN﹣xP|= ，
即 （1﹣b）| ﹣ |= ，化簡(jiǎn)可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．
由于此時(shí) b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．
兩邊開(kāi)方可得 （1﹣b）= ＜1，∴1﹣b＜ ，化簡(jiǎn)可得 b＞1﹣ ，
故有1﹣ ＜b＜ ．
再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得b的取值范圍應(yīng)是 ，
故選：B．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的點(diǎn)到直線的距離公式，需要了解點(diǎn)到直線的距離為：才能得出正確答案．