Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

2x+1

a+4x

為偶函數(shù)，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f（-1）=f（1），解關(guān)于a的方程可得；
（2）由（1）知f（x）=

2

1 2x +2x

，由基本不等式可得

1

2x

+2x≥2，由不等式的性質(zhì)可得函數(shù)值域．

解答： 解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

2x+1

a+4x

為偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1），即

2-1+1

a+4-1

=

21+1

a+41

，解得a=1
∴a的值為1；
（2）由（1）知f（x）=

2x+1

1+4x

=

2•2x

1+(2x)2

=

2

1 2x +2x

，
由基本不等式可得

1

2x

+2x≥2

1 2x •2x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2x

=2x即x=0時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）=

2

1 2x +2x

∈（0，

1

2

]
∴函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋海?，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，涉及函數(shù)值域和基本不等式，屬中檔題．