Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，直線AA₁與底面ABC所成的角是直角，直線AB與B₁C₁所成的角為45°，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、A₁C、BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：平面AB₁F⊥平面AEF．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點G，連結(jié)DG，GC，連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP，證明DE∥BP，即可證明DE∥平面ABC；
（2）證明B₁F⊥平面AEF，即可證明平面AB₁F⊥平面AEF．

解答： 證明：（1）取AB中點G，連結(jié)DG，GC．
連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP．
由E為C₁C的中點，A₁C₁∥CP，
由題意A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中點，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC┉┉（7分）
（2）∵△ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點，
∴BC⊥AF，
又∵直線AA₁與底面ABC所成的角為直角
∴B₁B⊥平面ABC，B₁F⊥AF，
設(shè)AB=AA₁=2，則B₁F=

6

，EF=

3

，B₁E=3
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；
∴平面AB₁F⊥平面AEF．┉┉（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．