Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項和為S_n，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可得出；
（Ⅱ）利用“n=1時b₁=T₁；n≥2時，b_n=T_n-T_n-1”和“累乘求積”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₃=7，∴a₁+a₂+a₃=7，
∵a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數(shù)列，∴6a₂=a₁+3+a₃+4，
聯(lián)立可得

a1(1+q+q2)=7 6a1q=a1+a1q2+7

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．當(dāng)n≥2時，6T_n-1=（3n-2）b_n-1+2，b₁=1．
∴6b_n=（3n+1）b_n-（3n-2）b_n-1，
化為

bn

bn-1

=

3n-2

3n-5

．
∴b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

•b1
=

3n-2

3n-5

•

3n-5

3n-8

…

4

1

×1=3n-2．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，解答（Ⅱ）時利用“n=1時b₁=T₁，n≥2時，b_n=T_n-T_n-1”采用“累乘求積”求解，屬中檔題．