Question

已知函數(shù)f（x）的自變量取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f（x）的保值區(qū)間．若函數(shù)g（x）=x+m-lnx的保值區(qū)間是[

1

2

，+∞），則m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得g（x）=x+m-lnx在x∈[

1

2

，+∞）的值域?yàn)閇

1

2

，+∞），求導(dǎo)數(shù)可得g（x）的單調(diào)性，可得g（1）=

1

2

，解m的方程可得．

解答： 解：由題意可得g（x）=x+m-lnx在x∈[

1

2

，+∞）的值域?yàn)閇

1

2

，+∞），
求導(dǎo)數(shù)可得g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
令g′（x）=

x-1

x

＜0，可解得0＜x＜1，
∴g（x）=x+m-lnx在x∈[

1

2

，1）單調(diào)遞減，
同理由g′（x）＞0，可解得x＞1，
∴g（x）=x+m-lnx在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）=x+m-lnx取最小值，
∴g（1）=1+m-ln1=

1

2

，解得m=-

1

2

故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及導(dǎo)數(shù)法判函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．