Question

在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足

BM

=λ

AM

（λ≥2，λ∈R），則

CM

•

CA

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，將

CM

•

CA

表示為|

CA

|乘以向量

CM

在

CA

方向上的射影，只需射影最大即可，由λ≥2知，當(dāng)λ=2時，|

AM

|最大，則

CM

•

CA

最大，再設(shè)法求出射影|

CM

|cos∠MCA，即可得

CM

•

CA

的最大值．

解答： 解：∵CA=3，∴

CM

•

CA

=|

CA

|•(|

CM

|cos∠MCA)
=3(|

CM

|cos∠MCA)，
其中|

CM

|cos∠MCA為向量

CM

在

CA

方向上的射影．
如右圖所示，當(dāng)|

AM

|越大，射影|

CM

|cos∠MCA也越大，
由λ≥2知，當(dāng)M往左移到最遠(yuǎn)處，即λ=2時，|

AM

|最大，則

CM

•

CA

最大，
此時點(diǎn)A為線段BM的中點(diǎn)．
過點(diǎn)M作MD⊥CA交CA的延長線于點(diǎn)D，則
由

AM=BA ∠MDA=90°=∠BCA ∠MAD=∠BAC

，知△MDA≌△BCA，
∴AD=CA，
∴

CM

•

CA

的最大值=3|

CD

|=3×2|

CA

|=6×3=18．
故答案為18．

點(diǎn)評：本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義，向量加法及數(shù)乘的含義，關(guān)鍵是充分利用圖形的幾何特征，如線段與線段的長度關(guān)系，夾角，點(diǎn)的位置變化等，必要時可添加適當(dāng)?shù)妮o助線．