【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2 . (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2 , 可得f′(x)=(x﹣1)ex+2a(x﹣1)=(x﹣1)(ex+2a),
①當(dāng)a≥0時(shí),由f′(x)>0,可得x>1;由f′(x)<0,可得x<1,
即有f(x)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增;
②當(dāng)a<0時(shí),若a=﹣ ,則f′(x)≥0恒成立,即有f(x)在R上遞增;
若a<﹣ 時(shí),由f′(x)>0,可得x<1或x>ln(﹣2a);
由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).
即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞增;
在(1,ln(﹣2a))遞減;
若﹣ <a<0,由f′(x)>0,可得x<ln(﹣2a)或x>1;
由f′(x)<0,可得ln(﹣2a)<x<1.
即有f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a)),(1,+∞)遞增;
在(ln(﹣2a),1)遞減;
(Ⅱ)
①由(Ⅰ)可得當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增,
且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;x→﹣∞,f(x)→+∞.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)a=0時(shí),f(x)=(x﹣2)ex , 所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=2;
③當(dāng)a<0時(shí),
若a<﹣ 時(shí),f(x)在(1,ln(﹣2a))遞減,在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)遞增,
又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a≥﹣ 時(shí),f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,又x≤1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).
綜上可得,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為(0,+∞)
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)a≥0時(shí),a<﹣ 時(shí),a=﹣ 時(shí),﹣ <a<0,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;由導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(Ⅱ)由(Ⅰ)的單調(diào)區(qū)間,對(duì)a討論,結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn),即可得到所求范圍.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.

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