Question

5．設(shè){a_n}是正數(shù)等差數(shù)列，{b_n}是正數(shù)等比數(shù)列，且a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，則（　�。�

• A． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}＞lg{a_6}＞lg{b_6}$
• B． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}≥lg{a_6}≥lg{b_6}$
• C． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}≥lg{b_6}≥lg{a_6}$
• D． $lg\sqrt{\frac{{{a_1}^2+{a_{11}}^2}}{2}}＜lg{a_6}＜lg{b_6}$

Answer 1

分析 先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知a₁+a₁₁=b₁+b₁₁=2a₆，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，進(jìn)而根據(jù)a₁+a₁₁=b₁+b₁₁，
再由$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}$≥（$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$）²，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．

解答 解：∵a₁=b₁，₁=b₁₁
∴a₁+a₁₁=b₁+b₁₁=2a₆，
∵b₆=$\sqrt{_{1}_{11}}$≤$\frac{_{1}+_{11}}{2}$=a₆，
當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)有b₁=b₁₁，此時(shí)須有q=1，d=0，
∴b₆≤a₆，即有l(wèi)gb₆≤lga₆，
又$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}$≥（$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$）²，
可得$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}}$≥$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$=a₆，
即有l(wèi)g$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}}$≥lg$\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}$=lga₆，
綜上可得lg$\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{11}}^{2}}{2}}$≥lga₆≥lgb₆．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差（比）數(shù)列的性質(zhì)．有些同學(xué)做錯(cuò)，是因?yàn)椴荒莒`活運(yùn)用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義及基本不等式．