【題目】在直角坐標系中,點到兩點,的距離之和等于,設(shè)點的軌跡為。
(1)求曲線的方程;
(2)過點作直線與曲線交于點、,以線段為直徑的圓能否過坐標原點,若能,求出直線的方程,若不能請說明理由.
【答案】(1);(2)能,直線的方程為:.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義求得,根據(jù)兩個定點求得c,由此求得b,進而求得曲線的方程.(2)設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,寫出韋達定理.根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,得到,即,將前面韋達定理得到的表達式代入,化簡求得的值,由此求出符合題意的直線的方程.
(1)設(shè),由橢圓定義可知,點的軌跡C是以,為焦點,長半軸為2的橢圓.它的短半軸,故曲線C的方程為.
(2)設(shè)直線,分別交曲線C于,,其坐標滿足 ,消去并整理得.故 ,.若以線段AB為直線的圓過坐標原點,則,即,
而,于是
化簡得,所以,所以 所以直線l的方程為:
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【題目】已知是兩個不同的平面,是兩條不同的直線,有如下四個命題:
①若,則; ②若,則;
③若,則; ④若,則.
其中真命題為_________(填所有真命題的序號).
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【題目】現(xiàn)有某高新技術(shù)企業(yè)年研發(fā)費用投入(百萬元)與企業(yè)年利潤(百萬元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系,近5年的年研發(fā)費用和年利潤的具體數(shù)據(jù)如表:
年研發(fā)費用(百萬元) |
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年利潤 (百萬元) |
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數(shù)據(jù)表明與之間有較強的線性關(guān)系.
(1)求對的回歸直線方程;
(2)如果該企業(yè)某年研發(fā)費用投入8百萬元,預測該企業(yè)獲得年利潤為多少?
參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù).
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【題目】2018年為我國改革開放40周年,某事業(yè)單位共有職工600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定:此單位45歲~59歲為中年人,其余為青年人,現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
(1)抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人?
(2)若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事,其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列2×2列聯(lián)表,并回答能否有90%的把握認為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)?
(3)若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾(其中1人擅長歌舞,3人擅長樂器)中,隨機抽取2人上臺表演節(jié)目,則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少?
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【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg), 其頻率分布直方圖如下:
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計A的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50 kg | 箱產(chǎn)量≥50 kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
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【題目】已知圓經(jīng)過點,和直線相切,且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)已知直線經(jīng)過原點,并且被圓截得的弦長為2,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù),,
(1)當時,求的最大值和最小值;
(2)求實數(shù)的取值范圍,使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若在定義域上不單調(diào),求的取值范圍;
(2)設(shè)分別是的極大值和極小值,且,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在,使得對任意恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.
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