Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）是否存在，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】分析：第一問(wèn)先將函數(shù)的解析式確定，接著寫出函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問(wèn)假設(shè)存在，之后將其轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，借用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像的走向，從而確定函數(shù)的最值，最后求得結(jié)果.

詳解：（1）由已知得，的定義域?yàn)?/span>，

則，

①當(dāng)時(shí)，，，，所以，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，令，得或，

（i）當(dāng)（），即時(shí)，所以（），

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，在和上函數(shù)，在上函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)，即時(shí)，在和上函數(shù)，在上函數(shù)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）若對(duì)任意恒成立，則，

記，只需．

又，

記，則，

所以在上單調(diào)遞減．

又，，

所以存在唯一，使得，即，

當(dāng)時(shí)，，，的變化情況如下：

		極大值

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又，所以，

因?yàn)?/span>，即，且，故的最小整數(shù)值為3，

所以存在最小整數(shù)，使得對(duì)任意恒成立．