Question

6．如圖，圓O與離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓T：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）相切于點(diǎn)M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)M引直線l（斜率存在），若直線l被橢圓T截得的弦長(zhǎng)為2．①求直線l的方程；②設(shè)P（x，y）為圓O上的點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）由切點(diǎn)可得b=1，即圓的半徑為1，可得圓的方程；再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）①設(shè)直線l：y=kx+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得k，進(jìn)而得到直線方程；
②根據(jù)對(duì)稱性可知P到直線l的距離最大為圓心到直線的距離加上半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）由題意可知，圓的半徑r=1，
∴圓O的方程為：x²+y²=1，
在橢圓T中，b=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²
∴a²=4，b²=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）①設(shè)直線l：y=kx+1，
設(shè)l與橢圓T交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y得：（1+4k²）x²+8kx=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=0$，
∴弦長(zhǎng)$|{MN}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{|{8k}|}}{{1+4{k^2}}}=2$，
解得：$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直線l的方程為：$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$；
②根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)P（x，y）到直線l：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$的距離相等，
故點(diǎn)P（x，y）到直線l的最大距離$d=\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{8}+1}}}+1=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和圓的方程的求法，同時(shí)考查直線和圓相切的條件，以及直線和橢圓相交的弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．