Question

已知四邊形ABCD是矩形，BC=

2

AB，將△ABC沿著對角線AC翻折，得到△AB₁C，設(shè)頂點B₁在平面ABCD上的射影為O，若點O恰好落在邊AD上．
（1）求證：AB₁⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-AC-D的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由面面垂直的判定定理得平面AB₁D⊥平面ACD，從而CD⊥AD，由線面垂直得AB₁⊥CD，由矩形性質(zhì)得AB₁⊥CB₁，由此能證明AB₁⊥平面B₁CD．
（2）作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，當(dāng)點O恰好落在線段AD上時，點O與點F重合，∠B₁EF為二面角B₁-AC-D的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-D的大�。�

解答： （1）證明：∵點B₁在平面ABCD上的射影為O，點O恰好落在邊AD上，
∴平面AB₁D⊥平面ACD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面AB₁D，
∴AB₁⊥CD，
又∵AB₁⊥CB₁，
∴AB₁⊥平面B₁CD．

（2）解：作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，
設(shè)AB=1，則BC=

2

，BE=

6

2

，EF=

6

6

，
當(dāng)點O恰好落在線段AD上時，點O與點F重合，
又∵B₁E⊥AC，EF⊥AC，
∴∠B₁EF為二面角B₁-AC-D的平面角，
∴cos∠B₁EF=

EO

B1E

=

1

2

，
∴∠B₁EF=60°，
故二面角B₁-AC-D的大小為60°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，涉及到線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定理的應(yīng)用，是中檔題．