Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿對角線BD將Rt△ABD折起，使點A到P點，且點P在平面BCD內(nèi)的射影O恰好落在CD邊上，求二面角P-BD-C的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：過點O作OE⊥BD，連結(jié)PE，可得∠PEO為二面角P-BD-C的平面角，解△CPD和△DPB，可得答案

解答： 解：∵PO⊥面BCD，
∴過點O作OE⊥BD，連結(jié)PE，PE⊥BD，
∴∠PEO為二面角P-BD-C的平面角，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥CD，DA⊥AB，
∵A點移動到了P點，
∴PD⊥PB，
又∵P點在平面BCD上的射影在CD上，
∴過P點作PO⊥CD，
∴PO⊥面BCD，
∴BC⊥面PCD，
∴PD⊥面PBC，
∴PD⊥PC，
∴△CPD為Rt△，
∵AB=4，BC=3，BD=

AB2+BC2

=3

5

．PE=

AQ•AB

BD

=

3×6

3 5

=

6 5

5

．
∴PC=

PB2-BC2

=

37

，
在Rt△DPC中，DC•PO=PD•PC，
解得：PO=

3× 37

6

=

37

2

．
∴sin∠PEO=

PO

PE

=

37 2

6 5 5

=

185

12

，
二面角P-BD-C的正弦值：

185

12

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，是空間立體幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．