Question

給出下列命題：
①若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（x）•f（x+4）=1，則8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
③若log_m3＜log_n3＜0，則0＜m＜n＜1；
④若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函數(shù)，則a≤1．
其中正確命題的序號(hào)是

①②④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．②根據(jù)函數(shù)周期性的定義進(jìn)行推導(dǎo)．③根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．④根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答：解：①若y=f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），∴|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|，即|f（x）|為偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；正確．
②若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（x）•f（x+4）=1，則f（x）≠0，
∴f（x）•f（x+4）=f（x+4）•f（x+8）=1，即f（x+8）=f（x），則8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；正確．
③若log_m3＜log_n3＜0，則

1

log3m

＜

1

log3n

＜0，
即log₃n＜log₃m＜0，即0＜n＜m＜1，∴③錯(cuò)誤．
④設(shè)t=|x-a|，則函數(shù)y=e^t單調(diào)遞增，t=|x-a|在[a，+∞）上也單調(diào)遞增，∴若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函數(shù)，則a≤1．正確．
∴正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性，周期性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用相應(yīng)的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．