給出下列命題:①y=lg(sinx+
1+sin2x
)
是奇函數(shù);
②若α,β是第一象限角,且α>β,則cosα<cosβ;
③函數(shù)f(x)=2x-x2在R上有3個(gè)零點(diǎn);
④函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin(2x+
π
4
)
的圖象.
其中正確命題的序號(hào)是
 
.(把正確命題的序號(hào)都填上)
分析:由奇函數(shù)的定義,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可判斷①的正誤;根據(jù)第一象限的角,不一定在同一單調(diào)區(qū)間上,無(wú)法比較大小,可以得到②的真假;根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的求法,我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷后,可以得到③的真假;根據(jù)圖象平移變換的法則,我們可以判斷④的真假,進(jìn)而得到答案.
解答:解:函數(shù)f(x)=lg(sinx+
1+sin2x
)
的定義域?yàn)镽,
且f(-x)+f(x)=lg(sin(-x)+
1+sin2(-x)
)
+lg(sinx+
1+sin2x
)
=lg1=0,
即f(-x)=-f(x)
∴①y=lg(sinx+
1+sin2x
)
是奇函數(shù)正確;
若α,β是第一象限角,且α>β,但α,β不一定在同一單調(diào)區(qū)間上,則cosα<cosβ不一定成立,故②錯(cuò)誤;
在同一平面坐標(biāo)系中畫(huà)出y=2x與函數(shù)y=x2的圖象,易得兩函數(shù)的圖象共有3個(gè)交點(diǎn),故③函數(shù)f(x)=2x-x2在R上有3個(gè)零點(diǎn)正確;
函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin[2(x+
π
4
)]
=sin(2x+
π
2
)
的圖象,故④錯(cuò)誤.
故答案為:①③
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,函數(shù)的平移變換及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,是對(duì)函數(shù)性質(zhì)及圖象的綜合考查,難度適中,其中②中易忽略α,β不一定在同一單調(diào)區(qū)間上,而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性,而錯(cuò)判斷為正確.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題
①函數(shù)y=tan(3x-
π
2
)
的周期是
π
3
;
②角α終邊上一點(diǎn)P(-3a,4a),且a≠0,那么cosα=-
3
5

③函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)
的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(-
π
12
,0)
;
④已知f(x)=sin(ωx+2)滿(mǎn)足f(x+2)+f(x)=0,則ω=
π
2

其中正確的個(gè)數(shù)有( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
y=
x2+3
x2+2
的最小值為2;       
②若a>b,則
1
a
1
b
成立的充要條件是ab>0;
③若不等式x2+ax-4<0對(duì)任意x∈(-1,1)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,3).
真命題的序號(hào)是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①y=tanx在其定義域上是增函數(shù);
②函數(shù)y=|sin(2x+
π
3
)|
的最小正周期是
π
2
;
p:
π
4
<α<
π
2
;q:f(x)=logtanαx在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則p是q的充分非必要條件;
④函數(shù)y=lg(sinx+
sin2x+1
)
的奇偶性不能確定.
其中正確命題的序號(hào)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①y=x2是冪函數(shù);
②函數(shù)f(x)=2x-x2的零點(diǎn)有2個(gè);
③(x+
1
x
+2)5展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是6項(xiàng);
④函數(shù)y=sinx(x∈[-π,π])圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
π
sinxdx;
⑤若ξ~N(1,σ2),且P(0≤ξ≤1)=0.3,則P(ξ≥2)=0.2.
其中真命題的序號(hào)是
①⑤
①⑤
(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).

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