Question

設(shè)f(x)＝，其中a為正實(shí)數(shù)．

①當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；②若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

 

Answer 1

①x＝是極大值點(diǎn)，x＝是極小值點(diǎn)②(0,1]

【解析】f′(x)＝

①當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.

當(dāng)x<時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)<x<時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>時(shí)，f′(x)>0.

∴f(x)在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)，上是增函數(shù)．

∴x＝是極大值點(diǎn)，x＝是極小值點(diǎn)．

②若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號(hào)．由于a>0，又ex>0，(1＋ax2)2>0.∴ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a2－4a≤0.

∴0<a≤1.所以a的范圍為(0,1]．