Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²-2x+2，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，則f'（1）=2+1=3．
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在區(qū)間(-

1

a

，+∞)上f'（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，-

1

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)；
（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，
因?yàn)間（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e3

．