Question

已知定義在上的兩個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試求實(shí)數(shù)k的最大值，使得對(duì)任意恒成立；
（3）若，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f′（x），進(jìn)一步求出f′（），令其等于-，得a值，代入得f（x）的解析式；
（2）把解析式代入不等式，觀察f（x）、g（x）均為正數(shù)，分離參數(shù)，設(shè)另一邊為函數(shù)h（x），求其導(dǎo)函數(shù)，令h′（x）＞0，令h′（x）＜0，得函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進(jìn)一步求出其最大值，代入不等式可求k的范圍，即得k的最大值．
（3）由（2）的結(jié)論可得≥（-），在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃，三式左右兩邊分別相加得一不等式，通分，結(jié)合所給等式，可得所求結(jié)果．
解答：解：（1）由
即可求得；（3分）
（2）當(dāng)，＞＞＞0，
不等式f（x）≥≥≥（5分）
令
由于=（7分）
當(dāng)；
當(dāng)；
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，h'（x）＜0．
又，
故h（x）_max=h（2）=25，
于是由；（10分）
（3）由（2）知，
在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃再三式作和即得==，
所以有．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值問(wèn)題中的應(yīng)用，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件；
證明不等式一般會(huì)用到上面的結(jié)論，仔細(xì)觀察要證式子及已證式子的特點(diǎn)，兩者如何連接．