Question

（本小題滿分13分）如圖，已知圓E:，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（Ⅰ）求動點Q的軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線與（Ⅰ）中軌跡相交于兩點, 直線的斜率分別為（其中）．△的面積為, 以為直徑的圓的面積分別為．若恰好構成等比數(shù)列, 求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由垂直平分線性質可知，，所以有，由橢圓定義可得點的軌跡為橢圓，可求其軌跡方程；

（Ⅱ） 設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由及韋達定理可求得，再利用可求出的取值范圍，求出，即可求的取值范圍。

試題解析：（Ⅰ）連結QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故動點Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓． 2分

設其方程為，可知，，則， 3分

所以點Q的軌跡的方程為． 4分

（Ⅱ）設直線的方程為，，

由可得，

由韋達定理有：

且 6分

∵構成等比數(shù)列，=，即：

由韋達定理代入化簡得：．∵ ，． 8分

此時，即．又由三點不共線得

從而．

故

10分

∵

則

為定值． 12分

當且僅當時等號成立．

綜上：的取值范圍是． 13分

考點：橢圓定義及性質，直線與圓錐曲線關系，基本不等式.