設(shè)是定義在上的函數(shù),用分點(diǎn)

      

將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間,如果存在一個(gè)常數(shù),使得和式)恒成立,則稱上的有界變差函數(shù).

(1)函數(shù)上是否為有界變差函數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)設(shè)函數(shù)上的單調(diào)遞減函數(shù),證明:上的有界變差函數(shù);

(3)若定義在上的函數(shù)滿足:存在常數(shù),使得對(duì)于任意的、 時(shí),.證明:上的有界變差函數(shù).

解:(1)函數(shù)上是增函數(shù),對(duì)任意劃分,

  ,

取常數(shù),則和式)恒成立,

所以函數(shù)上是有界變差函數(shù).          …………4分

(2)函數(shù)上的單調(diào)遞減函數(shù),

且對(duì)任意劃分,

     

一定存在一個(gè)常數(shù),使,

上的有界變差函數(shù).                    …………9分

(3)

對(duì)任意劃分,

,

取常數(shù)

由有界變差函數(shù)定義知上的有界變差函數(shù). …………14分

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    ,,則=( )

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設(shè)是定義在上的函數(shù),若存在,使得上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則稱上的單峰函數(shù),為峰點(diǎn),包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間.  對(duì)任意的上的單峰函數(shù),下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法.

  (1)證明:對(duì)任意的,,若,則為含峰區(qū)間;若,則為含峰區(qū)間;

  (2)對(duì)給定的,證明:存在,滿足,使得由(1)所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于

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若函數(shù)在給定區(qū)間M上存在正數(shù)t,使得對(duì)于任意,有,且,則稱為M上的t級(jí)類增函數(shù)。給出4個(gè)命題

①函數(shù)上的3級(jí)類增函數(shù)

②函數(shù)上的1級(jí)類增函數(shù)

③若函數(shù)上的級(jí)類增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的最小值為2

④設(shè)是定義在上的函數(shù),且滿足:1.對(duì)任意,恒有;2.對(duì)任意,恒有;3. 對(duì)任意,,若函數(shù)上的t級(jí)類增函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍為。

以上命題中為真命題的是     

 

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設(shè)是定義在上的函數(shù),且對(duì)任意,當(dāng)時(shí),都有;

(1)當(dāng)時(shí),比較的大小;

(2)解不等式

(3)設(shè),求的取值范圍。

 

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