Question

設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.　　對任意的上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.

  （1）證明：對任意的，，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間；

  （2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于；

Answer 1

證明見解析

解析:

(1)證明:設(shè)為的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知, 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,

當(dāng)時,假設(shè),則<,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間.

當(dāng)時,假設(shè),則,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間………………………….(7分)

  （2）證明：由(1)的結(jié)論可知:

當(dāng)時, 含峰區(qū)間的長度為；

當(dāng)時, 含峰區(qū)間的長度為；

對于上述兩種情況，由題意得               ①

由①得即，

又因為，所以                     ②

將②代入①得                    ③

由①和③解得

所以這時含峰區(qū)間的長度，

即存在使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于