【題目】已知函數(shù)f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.

(1)討論函數(shù)h(x)=的單調(diào)性;

(2)如果對任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

試題分析:(1的定義域為,當時,,當時,可得,判斷上的符號情況,即得其單調(diào)區(qū)間;(2)如果對任意的,都有成立,則,可先求出,得到上恒成立,構造函數(shù),求出的最大值,即得求實數(shù)的取值范圍.

試題解析:(1hx==+lnxh′x=,

①a≤0h′x≥0,函數(shù)hx)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

②a0時,h'x)>0,則x∈+∞),函數(shù)hx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞),

h'x)<0,則x∈0,),函數(shù)hx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,).

2gx=x3﹣x2﹣3g′x=3xx﹣),

由上表可知,gx)在x=2處取得最大值,即gxmax=g2=1

所以當x∈[,2]時,fx=+xlnx≥1恒成立,等價于a≥x﹣x2lnx恒成立,

ux=x﹣x2lnx,所以a≥uxmax,u′x=1﹣x﹣2xlnx,可知u′1=0,

x∈,1)時,1﹣x0,2xlnx0,則u′x)>0∴ux)在x∈,2)上單調(diào)遞增;

x∈1,2)時,1﹣x0,2xlnx0,則u′x)<0∴ux)在(1,2)上單調(diào)遞減;

故當x=1時,函數(shù)ux)在區(qū)間[2],上取得最大值u1=1

所以a≥1,故實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

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A. 120 B. 84 C. 56 D. 28

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