Question

給定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*），定義a₁•a₂…a_k為整數(shù)k（k∈N^*）叫做希望數(shù)，則區(qū)間[1，2009]內(nèi)所有希望數(shù)的和為

2026

．

Answer 1

分析：注意到a₁，a₂，…a_k各項(xiàng)底數(shù)不同，可以根據(jù)換底公式：logaN=

logbN

logba

，實(shí)現(xiàn)a₁•a₂…a_k的化簡，轉(zhuǎn)化為

lg(k+2)

lg2

，且為整數(shù)，即k+2=2^m，k=2^m_-2
 m∈Z，令m=1，2，3，…，，可逐個(gè)求得區(qū)間[1，2009]內(nèi)的所有希望數(shù)，再求和．

解答：解：根據(jù)換底公式 logaN=

logbN

logba

．
得a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

為整數(shù)，
∴k+2=2^m，m∈Z．k=2^m_-2
 k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和為2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故答案為：2026．

點(diǎn)評(píng)：本題考查 對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用，數(shù)列求和，關(guān)鍵是把a(bǔ)₁•a₂…a_k化簡，再轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，探求希望數(shù)．