【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx+1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若 ,求函數(shù)F(x)=f(x)ex的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=e﹣1﹣2a,方程f(x)=ex在(0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:若a= ,F(xiàn)(x)=(x2+bx+1)ex,
則F′(x)=(2x+b)ex+(x2+bx+1)ex=[x2+(b+2)x+b+1]ex=(x+1)[x+(b+1)]ex,
由F′(x)=0得(x+1)[x+(b+1)]=0,即x=﹣1或x=﹣(b+1),
①若b+1=1,即b=0時(shí),F(xiàn)′(x)=(x+1)2ex≥0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞),
②若﹣(b+1)<﹣1,即b>0時(shí),由F′(x)>0得(x+1)[x+(b+1)]>0,即x>﹣1或x<﹣(b+1),
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣(b+1)),(﹣1,+∞),
由F′(x)<0得(x+1)[x+(b+1)]<0,即﹣(b+1)<x<﹣1,
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣(b+1),﹣1),
③若﹣(b+1)>﹣1,即b<0時(shí),由F′(x)>0得(x+1)[x+(b+1)]>0,解得:x>﹣(b+1)或x<﹣1,
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣1),(﹣(b+1),+∞),
由F′(x)<0得(x+1)[x+(b+1)]<0,解得:﹣1<x<﹣(b+1),
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣1,﹣(b+1))
(2)解:方程f(x)=ex在(0,1)內(nèi)有解,即2ax2+bx+1=ex在(0,1)內(nèi)有解,
即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0,
設(shè)g(x)=ex﹣2ax2﹣bx﹣1,
則g(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),
設(shè)x0是g(x)在(0,1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),
則g(0)=0,g(1)=0,知函數(shù)g(x)在(0,x0)和(x0,1)上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減,
設(shè)h(x)=g′(x),
則h(x)在(0,x0)和(x0,1)上存在零點(diǎn),
即h(x)在(0,1)上至少有兩個(gè)零點(diǎn),
g′(x)=ex﹣4ax﹣b,h′(x)=ex﹣4a,
當(dāng)a≤ 時(shí),h′(x)>0,h(x)在(0,1)上遞增,h(x)不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn),
當(dāng)a≥ 時(shí),h′(x)<0,h(x)在(0,1)上遞減,h(x)不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn),
當(dāng) <a< 時(shí),令h′(x)=0,得x=ln(4a)∈(0,1),
則h(x)在(0,ln(4a))上遞減,在(ln(4a),1)上遞增,h(x)在(0,1)上存在最小值h(ln(4a)).
若h(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則有h(ln(4a))<0,h(0)>0,h(1)>0,
h(ln(4a))=4a﹣4aln(4a)﹣b=6a﹣4aln(4a)+1﹣e, <a< ,
設(shè)φ(x)= x﹣xlnx+1﹣x,(1<x<e),
則φ′(x)= ﹣lnx,
令φ′(x)= ﹣lnx=0,得x= ,
當(dāng)1<x< 時(shí),φ′(x)>0,此時(shí)函數(shù)φ(x)遞增,
當(dāng) <x<e時(shí),φ′(x)<0,此時(shí)函數(shù)φ(x)遞減,
則φ(x)max=φ( )= +1﹣e<0,
則h(ln(4a))<0恒成立,
由h(0)=1﹣b=2a﹣e+2>0,h(1)=e﹣4a﹣b>0,
得 <a< ,
當(dāng) <a< 時(shí),設(shè)h(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,則g(x)在(0,x1)遞增,
在(x1,x2)上遞減,在(x2,1)遞增,
則g(x1)>g(0)=0,
g(x2)<g(1)=0,
則g(x)在(x1,x2)內(nèi)有零點(diǎn),
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是( , )
【解析】(1)若a= ,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)問題,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;二次函數(shù)的零點(diǎn):(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);(3)△<0,方程 無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn)才能正確解答此題.
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【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與圓切于點(diǎn),與拋物線切于點(diǎn),求的面積.
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【題目】已知⊙H被直線x-y-1=0,x+y-3=0分成面積相等的四個(gè)部分,且截x軸所得線段的長(zhǎng)為2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在過點(diǎn)P(0,b)的直線與⊙H相交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱)中,BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
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【題目】如圖是一個(gè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象
(1)寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)
(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式
(3)當(dāng)實(shí)數(shù)k在何范圍內(nèi)變化時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-kx在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)?
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【題目】調(diào)查某校 100 名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)情況,得下表:
一般 | 良好 | 優(yōu)秀 | |
男生(人) | 18 | ||
女生(人) | 10 | 17 |
已知從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,抽到成績(jī)一般的男生的概率為0.15.
(1)求的值;
(2)若用分層抽樣的方法,從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,問應(yīng)在優(yōu)秀學(xué)生中抽多少名?
(3)已知,優(yōu)秀學(xué)生中男生不少于女生的概率.
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【題目】橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且過M(2, ) ,N(,1)兩點(diǎn),
(I)求橢圓的方程;
(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。
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【題目】某小區(qū)提倡低碳生活,環(huán)保出行,在小區(qū)提供自行車出租該小區(qū)有40輛自行車供小區(qū)住戶租賃使用,管理這些自行車的費(fèi)用是每日92元,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過5元,則自行車可以全部出租,若超過5元,則每超過1元,租不出的自行車就增加2輛,為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x元只取整數(shù),用元表示出租自行車的日純收入日純收入一日出租自行車的總收入管理費(fèi)用
求函數(shù)的解析式及其定義域;
當(dāng)租金定為多少時(shí),才能使一天的純收入最大?
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【題目】某市為了了解高二學(xué)生物理學(xué)習(xí)情況,在34所高中里選出5所學(xué)校,隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加物理考試,將所得數(shù)據(jù)整理后,繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)將34所高中隨機(jī)編號(hào)為01,02,…,34,用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5組數(shù)抽取參加考試的五所學(xué)校,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開始,由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來的第4所學(xué)校的編號(hào)是多少?
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
(2)求頻率分布直方圖中a的值,試估計(jì)全市學(xué)生參加物理考試的平均成績(jī);
(3)如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),這3名同學(xué)中考試成績(jī)?cè)?0分以上,(含80分)的人數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(注:頻率可以視為相應(yīng)的概率)
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