Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，且a₁=b₁=3，a₃=b₂-2，S₄=b₃-3．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得關(guān)于d、q的方程組，解出d，q，再由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到a_n，b_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答： 解：（1）由a₁=b₁=3，知a₃=3+2d，b₂=3q，
S4=

(3+3+3d)×4

2

=12+6d，b3=3q2，
從而可得

3+2d=3q-2 12+6d=3q2-3

，即

2d=3q-5 6d=3q2-15

，
解得q=3，d=2，
從而有a_n=3+（n-1）×2=2n+1，bn=3×3n-1=3n．
（2）由（1）可知c_n=a_nb_n=（2n+1）×3ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ，
則3T_n=3×3²+5×3³+7×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
兩式相減得-2T_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=3×3+2×3²（1+3+3²+3³+…+3^n-2）-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=9+18×

3n-1-1

2

-（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴Tn=n×3n+1．

點(diǎn)評(píng)：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，熟記相關(guān)公式是解題關(guān)鍵．