Question

已知A、B、C是單位圓上三個(gè)互不相同的點(diǎn)．若|

AB

|=|

AC

|，則

AB

•

AC

的最小值是（　　）

• A、0
• B、-

  1

  4

• C、-

  1

  2

• D、-

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得，點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，不妨設(shè)單位圓的圓心為O（0，0），點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（x₁，y₁），則點(diǎn)C（-x₁，y₁），x12+y12=1，且-1≤y₁＜1．根據(jù)

AB

•

AC

=2y12-2y₁，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答： 解：由題意可得，點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，不妨設(shè)單位圓
的圓心為O（0，0），
點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（x₁，y₁），則點(diǎn)C（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1．
∴

AB

=（x₁，y₁-1），

AC

=（-x₁，y₁-1），x12+y12=1．
∴

AB

•

AC

=-x12+y12-2y₁+1=-（1-y12）+y12-2y₁+1
=2y12-2y₁，
∴當(dāng)y₁=

1

2

時(shí)，

AB

•

AC

取得最小值為-

1

2

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．