Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處的導數(shù)值都為0．求函數(shù)f（x）的解析式，并求其在區(qū)間[-1，1]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)，由函數(shù)f（x）在x=±1處的導數(shù)值都為0列式求出a，b的值，則函數(shù)解析式可求．再由導函數(shù)得到f（x）在[-1，1]上單調(diào)減，由此可求函數(shù)的最值．

解答：解：由f（x）=ax³+bx²-3x，得f'（x）=3ax²+2bx-3，
∵f'（1）=f'（-1）=0，即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，
解得：a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x∈[-1，1]時，f'（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)減，
∴y_max=f（-1）=2，y_min=f（1）=-2．

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值，訓練了利用導函數(shù)求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是中檔題．