Question

【題目】函數(shù)y=f（x）是定義在a，b上的增函數(shù)，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y=f（x）無零點，設(shè)函數(shù)F（x）=f2（x）+f2（﹣x），則對于F（x）有以下四個說法：
①定義域是[﹣b，b]；②是偶函數(shù)；③最小值是0；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
其中正確的有（填入你認(rèn)為正確的所有序號）

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：根據(jù)題意，依次分析4個命題：
對于①，對于F（x）=f2（x）+f2（﹣x），有a≤x≤b，a≤﹣x≤b，
而又由0＜b＜﹣a，則F（x）=f2（x）+f2（﹣x）中，x的取值范圍是﹣b≤x≤b，即其定義域是[﹣b，b]，則①正確；
對于②，F(xiàn)（﹣x）=f2（﹣x）+f2（x）=F（x），且其定義域為[﹣b，b]，關(guān)于原點對稱，
則F（x）為偶函數(shù)，②正確；
對于③，由y=f（x）無零點，假設(shè)f（x）=2x ， F（x）=22x+2﹣2x=22x+ ≥2，其最小值為2，故③錯誤；
對于④，由于F（x）是偶函數(shù)，則F（x）在[﹣b，0]上與[0，b]上的單調(diào)性相反，故F（x）在其定義域內(nèi)不會單調(diào)遞增，④錯誤；
所以答案是①②．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．