Question

已知函數f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，設集合M={m|?x∈R，f（x）與g（x）的值中至少有一個為正數}．
（Ⅰ）試判斷實數0是否在集合M中，并給出理由；
（Ⅱ）求集合M．

Answer 1

（Ⅰ）∵m=0時，f（x）=-8x+1，g（x）=0，f（x）的值不恒為0．
∴0∉M．
（Ⅱ）①當m＞0時，g（x）=mx在x∈（0，+∞）時恒為正，
∴f（x）=2mx²-2（4-m）x+1＞0對x≤0恒成立．
∴

△=4(4-m)2-8m≥0 4-m 2 ≥0

或△＜0，
解得 0＜m＜8．
②當m＜0時，g（x）=mx在x∈（-∞，0）時恒為正，
∴f（x）=2mx²-2（4-m）x+1＞0對x≥0恒成立．
∵f（x）的圖象開口向下且過點（0，1），
∴m∈?．
綜上，m的取值范圍是（0，8）．