一束光線從點(diǎn)F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后,恰好穿過點(diǎn)F2(1,0).
(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C上除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn),試問在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A、B,使得直線QA、QB的斜率之積為定值?若存在,請(qǐng)求出定值,并求出所有滿足條件的定點(diǎn)A、B的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)設(shè)出F1關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為F,進(jìn)而利用F1的坐標(biāo)求得
n
m+1
的值,同時(shí)把F1F的中點(diǎn)代入直線方程求得n和m的關(guān)系式,聯(lián)立方程求得n和m,進(jìn)而求得F的坐標(biāo).
(2)根據(jù)橢圓的定義可求得2a=PF1+PF2=PF+PF2進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求得a,根據(jù)c的值求得b,則橢圓的方程可得.
(3)假設(shè)存在兩定點(diǎn),并設(shè)出坐標(biāo),分別表示出QT和QS的斜率表示出k,把橢圓的方程代入,對(duì)于x∈(-
2
,
2
)恒成立聯(lián)立方程求得k,s和t,求得兩定點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)F1關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為F(m,n),則
n
m+1
=-
1
2
2•
m-1
2
-
n
2
+3=0

解得m=-
9
5
,n=
2
5
,即F(-
9
5
,
2
5
)

x+7y-1=0
2x-y+3=0
,解得P(-
4
3
,
1
3
)

(2)因?yàn)镻F1=PF,根據(jù)橢圓定義,得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2
=
(-
9
5
-1)
2
+(
2
5
-0)
2
=2
2
,所以a=
2
.又c=1,
所以b=1.所以橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1

(3)假設(shè)存在兩定點(diǎn)為A(s,0),B(t,0),
使得對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)Q(x,y)(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))都有kQt•kQs=k(k為定值),
y
x-s
y
x-t
=k
,將y2=1-
x2
2
代入并整理得
(k+
1
2
)x2-k(s+t)x+kst-1=0
(*)
.由題意,(*)式對(duì)任意x∈(-
2
2
)恒成立,
所以
k+
1
2
=0
k(x+t)=0
kst-1=0
,
解之得
k=-
1
2
s=
2
t=-
2
k=-
1
2
s=-
2
t=
2

所以有且只有兩定點(diǎn)(
2
,0),(-
2
,0),
使得kQt•kQs為定值-
1
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學(xué)生綜合分析問題和推理能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一束光線從點(diǎn)F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后,恰好穿過點(diǎn)F2(1,0).      
(Ⅰ)求點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F1′的坐標(biāo);
(Ⅱ)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程;
(Ⅲ)設(shè)直線l與橢圓C的兩條準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q 到F2的距離與到橢圓C右準(zhǔn)線的距離之比的最小值,并求取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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一束光線從點(diǎn)F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后,恰好穿過點(diǎn)F2(1,0).
(Ⅰ)求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一束光線從點(diǎn)F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)D反射后,恰好穿過點(diǎn)F2(1,0),
(1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的橢圓C的方程;
(2)從橢圓C上一點(diǎn)M向以短軸為直徑的圓引兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、Q.求|PQ|的最小值.

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一束光線從點(diǎn)F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:x+2y+6=0上一點(diǎn)M反射后,恰好穿過點(diǎn)F2(1,0).
(1)求點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F'1的坐標(biāo);
(2)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)M的橢圓C的方程.

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