一束光線從點(diǎn)F1（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：x+2y+6=0上一點(diǎn)M反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2（1，0）．
（1）求點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F'1的坐標(biāo)；
（2）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)M的橢圓C的方程．
分析：（1）設(shè)F'1（x0，y0），則根據(jù)垂直、中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上求得解得點(diǎn)F'1的坐標(biāo)的坐標(biāo)．
（2）由對(duì)稱(chēng)性知，|MF1|=|MF'1|，根據(jù)橢圓定義，得2a=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|，由此求得a的值，再由c=1求得b的值，從而求得橢圓C的方程．
解答：解：（1）設(shè)F'1（x0，y0），則
y0
x0+1
=2，且
x0-1
2
+2•
y0
2
+6=0，
解得x0=-3，y0=-4，故點(diǎn)F'1的坐標(biāo)為（-3，-4）．
（2）由對(duì)稱(chēng)性知，|MF1|=|MF'1|，根據(jù)橢圓定義，
可得2a=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|=
(-3-1)2+(-4-0)2
=4
2
，即a=2
2
．
又由題意可得c=1，∴b=
a2-c2
=
7
，
∴橢圓C的方程為
x2
8
+
y2
7
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反射定律的應(yīng)用，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一束光線從點(diǎn)F1（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2（1，0）．      
（Ⅰ）求點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F1′的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線l與橢圓C的兩條準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q 到F2的距離與到橢圓C右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一束光線從點(diǎn)F1（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2（1，0）．
（Ⅰ）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一束光線從點(diǎn)F1（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)D反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2（1，0），
（1）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的橢圓C的方程；
（2）從橢圓C上一點(diǎn)M向以短軸為直徑的圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、Q．求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一束光線從點(diǎn)F1（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2（1，0）．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C上除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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