Question

一束光線從點(diǎn)F₁（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：2x-y+3=0上一點(diǎn)D反射后，恰好穿過點(diǎn)F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的橢圓C的方程；
（2）從橢圓C上一點(diǎn)M向以短軸為直徑的圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、Q．求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)并求出點(diǎn)F₁關(guān)于直線l：2x-y+3=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，則由對稱的意義，可得|PF₁|=|PA|，根據(jù)橢圓的定義變形可得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|，代入數(shù)據(jù)可得a的值，進(jìn)而由題意可得c的值，計(jì)算可得b的值，即可得答案；
（2）先根據(jù)題意設(shè)M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；分析可得直線AB方程為x₀x+y₀y=1，進(jìn)而可以表示出P、Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合不等式，分析可得答案．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)F₁關(guān)于直線l：2x-y+3=0的對稱點(diǎn)A（m，n），
則

n m+1 =- 1 2 2• m-1 2 - n 2 +3=0

，
解得

m=- 9 5 n= 2 5

，
則A（-

9

5

，

2

5

）
∵|PF₁|=|PA|，根據(jù)橢圓的定義，得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
∴a=

2

，c=1，b=

2-1

=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．

（2）設(shè)M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，切線AM、BM方程分別為x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1，
∵切線AM、BM都經(jīng)過點(diǎn)M（x₀，y₀），
∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1．
∴直線AB方程為x₀x+y₀y=1，
∴P(0，

1

y0

)、Q(

1

x0

，0)，
|PQ|2=

1

x 2 0

+

1

y 2 0

=(

1

x 2 0

+

1

y 2 0

)(

x 2 0

2

+

y

2 0

)=

1

2

+1+

x 2 0

2 y 2 0

+

y 2 0

x 2 0

≥

3

2

+

2

=(

2 +1

2

)2，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

2 0

=

2

y

2 0

時，上式等號成立．
∴|PQ|的最小值為

2+ 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，是一道綜合題目，解本類題目時，注意認(rèn)真分析題意，結(jié)合有關(guān)的直線、圓的性質(zhì)，進(jìn)行分析計(jì)算，可以減小運(yùn)算量．