Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（I）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （I）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）首先把二次函數(shù)的一般式變成頂點式，從而確定對稱軸的方程，進一步根據(jù)定區(qū)間和不定軸進行討論進一步求出結果．

解答 解：（I）當a=-1時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
∴函數(shù)f（x）的最大值f（-5），37，最小值f（1）=1；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²
∴函數(shù)的圖象為開口方向向上的拋物線，對稱軸的方程為：x=-a
①當-5≤a≤5時：f（x）_min=f（-a）=2-a²
②a＜-5時：f（x）_min=f（5）=27+10a
③當a＞5時：f（x）_min=f（-5）=27-10a
綜上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2-{a}^{2}，-5≤a≤5}\\{27+10a，a＜-5}\\{27-10a，a＞5}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點：二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化，對稱軸方程，對稱軸不定與定區(qū)間的討論及相關的運算問題．