Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
①求證：數(shù)列{lga_n}是等差數(shù)列；
②設b_n=求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：①利用a_n與S_n的關系即可得到a_n，從而=1，即可得到數(shù)列{lga_n}是以lga₁=lg10=1為首項，1為公差的等差數(shù)列；
②由①可得：，lga_n+1=n+1，=3，利用裂項求和即可得到T_n．
解答：解：①當n=1時，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
當n≥2時，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式對于n=1時也成立．
∴數(shù)列{a_n}是以10為首項，10為公比的等比數(shù)列，
∴．
∴=1，
∴數(shù)列{lga_n}是以lga₁=lg10=1，為首項，1為公差的等差數(shù)列；
②由①可得：，lga_n+1=n+1，
∴=3，
∴T_n===．
點評：熟練掌握a_n與S_n的關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項公式、裂項求和等是解題的關鍵．