Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=1，當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n+2=a_n+1+a_n．求證：數(shù)列{a_n}的第4m+1（m∈N^*）項(xiàng)能被3整除．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：（1）當(dāng)m=1時(shí)，a_4m+1=a₅，依題意，可得a₅=3，能被3正除；（2）假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，a_4k+1能被3整除，去推證當(dāng)m=k+1時(shí)，a_4（k+1）+1項(xiàng)也能被3整除即可．

解答： 證明：（1）當(dāng)m=1時(shí)，a_4m+1=a₅=a₄+a₃=（a₃+a₂）+（a₂+a₁）=（a₂+a₁）+2a₂+a₁=3a₂+2a₁=3+0=3，
即當(dāng)m=1時(shí)，第4m+1項(xiàng)能被3整除，命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，a_4k+1能被3整除，
則當(dāng)m=k+1時(shí)，
a_4（k+1）+1=a_4k+5=a_4k+4+a_4k+3=2a_4k+3+a_4k+2=2（a_4k+2+a_4k+1）+a_4k+2=3a_4k+2+2a_4k+1．
顯然，3a_4k+2能被3整除，又由假設(shè)知a_4k+1能被3整除，
∴3a_4k+2+2a_4k+1能被3整除．
即當(dāng)m=k+1時(shí)，a_4（k+1）+1也能被3整除．命題也成立．
由（1）和（2）知，對(duì)于任意n∈N^*，數(shù)列{a_n}中的第4m+1（m∈N^*）項(xiàng)能被3整除．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推式的轉(zhuǎn)化與分析，突出考查推理論證能力，屬于難題．