Question

（2006•重慶一模）已知函數(shù)f(x)=|1-

1

x

|．
（I）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f （x）的定義域和值域都是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（II）若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f （x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）可假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發(fā)探究a，b的可能取值，可分三類(lèi)：a，b∈（0，1）時(shí)，a，b∈（1，+∞）時(shí)，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實(shí)數(shù)，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在；
（II）由題意，由函數(shù)y=f （x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，結(jié)合（I）的結(jié)論知只能a，b∈（1，+∞），由函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，建立方程，即可得到實(shí)數(shù)m所滿(mǎn)足的不等式，解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）不存在實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足條件．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以應(yīng)有a＞0
又f（x）=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

（1）當(dāng)a，b∈（0，1）時(shí)，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上為減函數(shù)，
故有

f(a)=b f(b)=a

，即

1 a -1=b 1 b -1=a

由此可得a=b，此時(shí)實(shí)數(shù)a，b的值不存在．
（2）當(dāng)a，b∈（1，+∞）時(shí)，f(x)=1-

1

x

在∈（1，+∞）上為增函數(shù)，
故有

f(a)=a f(b)=b

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b

由此可得a，b是方程x²-x+1=0的根，但方程無(wú)實(shí)根，所以此時(shí)實(shí)數(shù)a，b也不存在．
（3）當(dāng)a∈（0，1），b∈（1，+∞）時(shí)，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0∈[a，b]不可能，此時(shí)a，b也不存在
綜上可知，適合條件的實(shí)數(shù)a，b不存在．
（II）若存在實(shí)數(shù)a，b使函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）時(shí)，適合條件的實(shí)數(shù)a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞）
∵f(x)=1-

1

x

在∈（1，+∞）上為增函數(shù)
∴

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，且二實(shí)根均大于1，
∴

△=1-4m＞0 m-1+1＞0 1 2m ＞1

，解之得0＜m＜

1

4

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，

1

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考察了絕對(duì)值函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域構(gòu)造方程的思想，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問(wèn)題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類(lèi)討論探究，本題考察了分類(lèi)討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題，思維難度大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，本題易因?yàn)榭紤]不完善出錯(cuò)．