Question

（2006•成都一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中點(diǎn)．
（I）求異面直線PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F-PC-E的大�。�

Answer 1

分析：（I）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及

PD

，

AE

的坐標(biāo)，最后代入向量的數(shù)量積計(jì)算公式即可；
（II）先設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線EF，BC，PC的方向向量，由向量數(shù)量積為0，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，判斷出點(diǎn)F的位置，即可得到答案．
（III）先根據(jù)PD⊥平面ABCD，得到CD是PC在平面ABCD上的射影．進(jìn)而得PC⊥BC；再取PC的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥BC，進(jìn)而得EG⊥PC，通過分析得∠FGE為二面角F-PC-E的平面角，最后在三角形FGE中求出∠FGE；即可得到平面PCF與平面PCE的夾角的余弦值，進(jìn)而求出結(jié)論．

解答：解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A （a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），P（0，0，a）E(

a

2

，

a

2

，

a

2

)．
∴

AE

=(-

a

2

，

a

2

，

a

2

)，

DP

=(0，0，a)．
∴

AE

•

DP

=-

a

2

×0+

a

2

×0+

a

2

×a=

a2

2

．
又∵|

DP

|=a，|

AE

|=

3

2

a，
∴cos＜

AE

，

DP

＞=

AE • DP

| AE| •| DP |

=

a2 2

3 2 a•a

=

3

3

．
故異面直線AE、DP所成角為arccos

3

3

．                    （5分）
（II）∵F∈平面PAD，故設(shè)F（x，0，z），則有

EF

=(x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

)．
∵EF⊥平面PBC，∴

EF

⊥

BC

且

EF

⊥

PC

．
∴

EF • BC =0 EF • PC =0.

又∵

BC

=(-a，0，0)，

PC

=(0，a，-a)，
∴

(-a)(x- a 2 )=0 (- a 2 )•a+(-a)•(z- a 2 )=0.

從而

x= a 2 z=0.

∴F(

a

2

，0，0)，取AD的中點(diǎn)即為F點(diǎn)．                （4分）
（III）∵PD⊥平面ABCD，
∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又∵CD⊥BC，由三垂線定理，有PC⊥BC．
取PC的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥BC．
∴EG⊥PC．
連接FG．
∵EF⊥平面PBC，EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
∴FG⊥PC．
∴∠FGE為二面角F-PC-E的平面角．∵G(0，

a

2

，

a

2

)，
∴|

GF

|=

3

2

a．
∴cos∠FGE=

EG

FG

=

a 2

3 2 a

=

3

3

．
∴二面角F-PC-E的大小為arccos

3

3

．                         （5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，以及異面直線所成的角，其中建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將線線垂直問題，轉(zhuǎn)化為向量垂直問題是解答本題第二問的關(guān)鍵．