Question

求圓心在直線2x-y-3=0上,且過點A(5,2)和點B(3,-2)的圓的方程.

Answer 1

活動：學(xué)生閱讀題目,理解題意,相互交流或討論,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,注意總結(jié),因為條件與圓心有關(guān)系,因此可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用圓心在直線2x-y-3=0上,同時也在線段AB的垂直平分線上,由兩直線的交點得出圓心坐標(biāo),再由兩點間的距離公式得出圓的半徑,從而得到方程.

解:方法一:設(shè)圓的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r²,由已知條件得

解得所以圓的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝10.

方法二:因為圓過點A(5,2)和點B(3,-2),所以圓心在線段AB的垂直平分線上,線段AB的垂直平分線方程為y=-(x-4).設(shè)所求圓的圓心C的坐標(biāo)為(a,b),則有

解得

所以圓心C(2,1),r=|CA|=.

所以所求圓的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝10.

點評:本題介紹了幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用圓心在弦的垂直平分線上或者利用兩圓相切時連心線過切點,可得圓心滿足的一條直線方程,結(jié)合其他條件可確定圓心,由兩點間的距離公式得出圓的半徑,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.其實求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,就是求圓的圓心和半徑,有時借助于弦心距、圓半徑之間的關(guān)系計算,可大大簡化計算的過程與難度.如果用待定系數(shù)法求圓的方程,則需要三個獨立的條件,“選標(biāo)準(zhǔn),定參數(shù)”是解題的基本方法,其中選標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)膱A的方程形式,進而確定其中三個參數(shù).