Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義域在R，并且滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值令x=y=0，則可求f（0）的值；
（2）令y=-x，結(jié)合f（0）的值，可得結(jié)論；
（3）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求解．

解答： 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)
（3）f（x）是R上的減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）是R上的減函數(shù)，
令x=y=

1

3

，
∴f（

2

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2，
∵f（x）+f（2+x）＜2，
∴f（2+2x）＜f（

2

3

），
∴2+2x＞

2

3

，
解得x＞-

2

3

，
故x的取值范圍為（-

2

3

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查解不等式，考查賦值法的運(yùn)用，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．