Question

設

a

=（cosα，（λ-1）sinα），

b

=（cosβ，sinβ），（λ＞0，0＜α＜β＜

π

2

）是平面上的兩個向量，若向量

a

+

b

與

a

-

b

相互垂直，
（Ⅰ）求實數(shù)λ的值；
（Ⅱ）若

a

•

b

=

4

5

，且tanα=

1

4

，求tanβ的值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由題設，得(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，從而λ（λ-2）sin²α=0，由此能求出λ=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，從而sin(α-β)=-

3

5

，tan(α-β)=-

3

4

，由此能求出tanβ的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題設，得(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，
∴|

a

|2-|

b

|2=0，
∴（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
∴λ（λ-2）sin²α=0，
∵0＜α＜

π

2

，∴sin²α≠0，
又λ＞0，
∴λ-2=0，解得λ=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=

4

5

，
∵0＜α＜β＜

π

2

，則-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin(α-β)=-

3

5

，tan(α-β)=-

3

4

，
∴tanβ=tan[α-(α-β)]=

tanα-tan(α-β)

1+tanα•tan(α-β)

=

1 4 -(- 3 4 )

1+ 1 4 ×(- 3 4 )

=

16

13

．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查正切函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平面向量知識的三角函數(shù)知識的合理運用．