Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分別是A₁C₁BC的中點．
（1）證明：平面AEB⊥平面B₁CF；
（2）設P為線段BE上一點，且EP=2PB，求三棱錐P-B₁C₁F的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）首先，證明AB⊥平面BB₁C₁C，然后，得到結(jié)論；
（2）可以取B₁C₁的中點H，連結(jié)EH，從而得EH⊥平面BB₁C₁C，最后，結(jié)合體積公式求解．

解答： （1）在△ABC中，∵AC=2，BC=4，∠ACB=60°，
∴AB=2

3

，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．…（3分）
由已知AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．…（5分）
又∵AB?平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB₁C₁C，
即平面AEB⊥平面B₁CF．                        …（7分）
（2）取B₁C₁的中點H，連結(jié)EH，
則EH∥AB且EH=

1

2

AB=

3

，
由（1）AB⊥平面BB₁C₁C，
∴EH⊥平面BB₁C₁C，…（10分）
∵EP=2PB，
∴V_P-B1C1F=

1

3

V_E-B1C1F=

1

3

×

1

3

S_△B1C1F•EH=

2 3

9

．…（14分）

點評：本題重點考查了空間中平面和平垂直的判定定理、空間幾何體的體積計算等知識，屬于中檔題．