【題目】已知函數,且存在
,使得
,設
,
,
,
.
(Ⅰ)證明單調遞增;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)記,其前
項和為
,求證:
.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)證明見解析
【解析】
(Ⅰ)首先求出,然后通過證明
恒成立即可;
(Ⅱ)利用數學歸納法,即首先驗證時不等式是否成立,然后假設當
時不等式成立,再通過驗證
時不等式是否成立使問題得證;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的結論,先放縮再結合等比數列的求和公式即可證明.
(Ⅰ)由函數,則
,
所以是
上的單調遞增函數.
(Ⅱ)因為,即
.
又因為是單調遞增函數,可得
,即
.
又由,
,
綜上可得.
用數學歸納法證明如下:
①當時,上面已證明成立.
②假設當時,有
,
則當時,由
是單調遞增函數,可得
,
所以,
由①②知對一切都有
.
(Ⅲ)因為.
由(Ⅱ)知,
,則
,
,
所以,
因為,所以
,
所以.
綜上可得.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】阿波羅尼斯(約公元前年)證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數
的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點
、
間的距離為
,動點
滿足
,則
的最小值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某村共有100戶農民,且都從事蔬菜種植,平均每戶的年收入為2萬元.為了調整產業(yè)結構,該鎮(zhèn)政府決定動員部分農民從事蔬菜加工.據估計,若能動員戶農民從事蔬菜加工,則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入比上一年提高
,而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入為
萬元.
(1)在動員戶農民從事蔬菜加工后,要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前100戶農民的總年收入,求
的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農民的總年收入,求的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】年初新冠病毒疫情爆發(fā),全國范圍開展了“停課不停學”的線上教學活動.哈六中數學組積極研討網上教學策略:先采取甲、乙兩套方案教學,并對分別采取兩套方案教學的班級的
次線上測試成績進行統計如圖所示:
(1)請?zhí)顚懴卤恚ㄒ髮懗鲇嬎氵^程)
平均數 | 方差 | |
甲 | ||
乙 |
(2)從下列三個不同的角度對這次方案選擇的結果進行
①從平均數和方差相結合看(分析哪種方案的成績更好);
②從折線圖上兩種方案的走勢看(分析哪種方案更有潛力).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標方程為
,直線
的參數方程為
(
為參數).
(Ⅰ)求曲線的參數方程與直線
的普通方程;
(Ⅱ)設點為曲線
上的動點,點
和點
為直線
上的點,且
.求
面積的取值范圍.
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