Question

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（3）=log₂³且對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（k·3^x）+f（3^x﹣9^x﹣2）＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，則有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）對(duì)任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）解：f（3）=log₂³＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f（x）在R上是增函數(shù)，
又由（1）f（x）是奇函數(shù)．
f（k·3^x）＜﹣f（3^x﹣9^x﹣2）=f（﹣3^x+9^x+2），
k·3^x＜﹣3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分離系數(shù)得：，
問(wèn)題等價(jià)于，
對(duì)任意t＞0恒成立．
∵，
∴．